图8 与自然数配对的偶数和平方数
希尔伯特旅馆
大卫·希尔伯特(David Hilbert,1862——1943)是他那个年代最杰出的德国数学家。一家十分奇特的旅馆总是与他的名字联系在一起,它生动地体现了无限集合的奇妙性质。这家旅馆的主要特点是它有无穷多房间,用1,2,3,…来编号,还夸下海口,希尔伯特旅馆(Hilbert Hotel)总是有空房。
一天晚上,这家旅馆却客满了,也就是说每一间房里都住了一位客人。令前台服务员沮丧的是,又一个客人出现了,并要住一间房。幸好经理出手了,他把服务员拉到一边,教他如何处理这种情况,这才避免了尴尬的局面。“让1号房的客人搬到2号房,”他说,“2号房的搬到3号,以此类推。换句话说,我们通知整个旅馆,要求n号房的客人换到n+1号房中,这样1号房就可以空出来给这位客人了!”